论太极序列的普适性

兰茂景 

（宁夏师范学院教育系,固原市，756000）

[摘  要]：“太极序列”是古代中国一个大名鼎鼎的数列；“菲波那契数列”是现代西方学人津津乐道的一个话题。两大数列各有千秋；难分轩轾。本文工作是从对比研究中发现：①二者间有着很深的亲缘关系；②东西方科学在高层次上是相通的；③太极序列具有普适性。

[关键词] 太极序列  菲波那契数列  卡普列加常数  普适性

On the Universal Application of Taiji Sequence

                      LAN  Maojing

(Education Department , Ningxia Teachers University. Guyuan City75600，China)

Abstract: "Taiji sequence"is a famous series in ancient China while “Fibonacci Series,”is a popular topic talked by modern western scholars.The two series,with their own advantages,are hard to distinguish from each other. This article,through comparartive study,has found that the two series share a deep relationship,that there is a connection between east and west in science at a high level,and that Taiji Sequence has universal applications.

Keywords : 

Taiji  sequence;     Fibonacci series;

     Kaprekar constant;  universal application

引子：名称由来与历史回顾

1、“太极序列”

传说，《系辞》为中国春秋时期孔子所作；《易大传·系辞上》云：“是故易有太极，是生两仪，两仪生四象，四象生八卦…”。这是中国关于“太极序列”的最早思想。

古代中国人通过对各种自然现象的“仰观俯察”，“发现许多自然现象都有着各种有序性（如周期、准周期、旋回、韵律、节奏等）；目前在国内外文献中，已积累了大量有关有序性（周期性）资料，但是对这些进行归纳和概括的研究成果尚很少”。“1960年意大利人莫塞幕（F.Mosetti）对各种地球物理现象的周期数据进行研究后，提出了√2k序列与它们有较好的对应关系，他的文章发表后没有引起国际上重视；1980年中国的徐道一等人把√2k序列用于中国的地震活动周期资料也有较好的对应，并指出这一序列有可能与提丢斯—波得定则有联系。自1986年开始，进一步发现，√2k序列与各种天地生现象的周期性和有序性有相当好的对应关系，并因为它与中国古代的太极、阴阳、八卦、…有类似的基本思想，故在1989年命名√2k为太极序列”1。遗憾的是此数列在我国也未受到人们的重视；徐道一对太极序列与天地生现象的相关性有较深研究2；我国已故著名学者赵红州在肯定徐道一研究的基础上又发现了：人类的科学、文艺知识波动周期也与自然界（√2）k周期相关3；笔者在徐道一和赵红州两位先生研究的基础上对太极序列又有新认识，详见本文后面论述。

2、“菲波那契数列”

中世纪意大利数学家莱翁那度（Leanardo，AD.1170？～1250）4在他撰写的数学著作《算盘术》中有一道题：“有个人养兔子，假设在一年的第一天起，他在兔圈里养一对兔子，大兔子每一月下一对雌雄小兔；到一年的最后一天，这个兔圈里有多少对大兔子？”

（ 1 这两段话引自徐道一著《周易科学观》（地震出版社1992年版）P.170。

2 参见徐道一著《周易科学观》（地震出版社1992年版）P.169～191。

3 参见赵红州著《科学史数理分析》（河北教育出版社2001年10月第一版）P.184～190。

这个养兔子问题实际是个数学问题。根据题意我们不难算出这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，…；即：到一年最后一天，这个兔圈里有233对大兔子。这是个有限数列，按照上述规律写出的无限循环级数就是“菲波那契数列”(此数列是英国的鲁卡斯予以命名的)。此数列有如下的递推公式：

Fn+2= Fn+Fn+1   （n=0，1，2，3…）

令人意想不到的是，随着近代数学的发展，这个关于养兔子的问题后来冲出了“兔圈”，涉及领域之广令人瞠目：黄金比，优选法，方程论，植物萌生枝头、叶片、花瓣的分布，向日葵、菠萝、松果等的籽芽排布，蜜蜂的繁殖，人口年龄结构预测，钢琴音阶排布，几何谬误，矿物晶体的结构等等，不胜枚举。为此，美国在1963年专门创办了一份《菲波那契季刊》，用于刊登与菲波那契数列有关的问题。西方人对此津津乐道、喜不自胜，关于此数列的研究成果也层出不穷。

一、 贾宪三角----两大数列的汇合“基地”

1、贾宪三角

我国北宋人贾宪，约在公元1050年完成了一部叫《黄帝九章算术细草》的数学著作，原书丢失。公元1261年，南宋数学家杨辉撰写《详解九章算法》。杨辉在书中讲到高次开方法最早是贾宪创造的。

图一、开方作法本源图

就是“增乘开方法”（见图一）。用现代的数学术语来讲，这幅“开方作法本源图”实际上是一个指数为正整数的二项式定理系数表。（西方人称此图为“帕斯卡三角”或“牛顿二项式”；中国数学界以前称此图为“杨辉三角”，实际上称其为“贾宪三角”才是恰当的。）进入现代，人们发现，在“贾宪三角”上能找到“菲波那契数列”

图二、贾宪三角上的“太极序列”和“菲波那契数列”

图二横着看，就是中国古代有名的“太极序列”（也是意大利人莫塞幕在1960年提出的√2k序列的偶序列）：1、2、4、8、16、32、64、128、256、512、1024、2048……； 

图二斜着看，就是西方现代著名的“菲波那契数列”（这是英国人鲁卡斯命名的）：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144…； 

为了更真切地看到“菲波那契数列”，我们可以将“贾宪三角”变换成如下的图三（即将“贾宪三角”改写成左侧的1都靠齐）

图三、菲波那契数列处于贾宪三角的斜线上

在贾宪三角上发现“太极序列”与“菲波那契数列”，让人感到惊奇；但更惊奇的是：“菲波那契数列”与“太极序列”竟然是相关联的！ 下面我们就用求“数字根”的方法来分析二者的相关性。

2、两大数列的数字根

数字根，又称“根数”或“九余数” (Digital root)；所谓“数字根”就是把一个数字的各个数加起来，直到它成为一位数。因此，“根数”只有1～9这九个数。笔者发现：用“数字根”这个“照妖镜”来分析“太极序列”与“菲波那契数列”，它们之间竟然是相关联的。我们知道：“太极序列”是：1、2、4、8、16、32…；因此，其“根数”就是：1、2、4、8、7、5；现列表如下：

表一、太极序列及其数字根